Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

1

4

，且2a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）．数列{b_n}满足b₁=

3

4

，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列{a_n}的递推式得到数列{a_n}为等差数列，由等差数列的通项公式得到数列{a_n}的通项公式，再由3b_n-b_n-1=n得到bn=

1

3

bn-1+

1

3

n（n≥2），把b_n与a_n作差后整理可证数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）求出等比数列{b_n-a_n}的通项公式，代入数列{a_n}的通项公式后得到数列{b_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵2a_n=2a_n-1+1（n≥2），
∴an-an-1=

1

2

（n≥2）．
∴数列{a_n}为等差数列．
又a₁=

1

4

，
∴an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

1

2

n-

1

4

；
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n（n≥2），
∴bn-an=

1

3

bn-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

bn-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

(bn-1-

1

2

n+

3

4

)
=

1

3

[bn-1-

1

2

(n-1)+

1

4

]=

1

3

(bn-1-an-1)．
∵b1-a1=

1

2

≠0．
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

．
∴数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）由（1）得，bn-an=

1

2

•(

1

3

)n-1，
∴bn=

1

2

n-

1

4

+

1

2

•(

1

3

)n-1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了学生的灵活变形能力，是中档题．