Question

【题目】已知椭圆：的右顶点为，离心率为，点在椭圆上，点与点关于原点对称.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求经过点，且和轴相切的圆的方程；

（3）若，是椭圆上异于，的两个点，且，点在直线的上方，试判断的平分线是否经过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）是，.

【解析】

（1）根据点的坐标满足椭圆方程，结合离心率即可求得椭圆方程；

（2）由（1）中所求即可知点坐标，设出直线方程，根据题意，列方程求解即可；

（3）设出直线、的斜率分别为、，以及两条直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，求得两点的坐标，结合//，找到之间的关系，即可容易求得.

（1）由，解得，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）设经过点，且和轴相切的圆的圆心为，半径为，

圆的方程为，由题意可知，因为，在圆上，

所以，解得或，

故所求的圆的方程为或.

（3）设点、分别为、，直线、的斜率分别为、，

联立直线与椭圆方程，

化简得，

∵是方程的一个解，∴，则，

同理可得，则，

∴直线的斜率，

又∵且，∴，化简得，

∴直线、关于直线对称，即为的角平分线所在的直线，

∴的角平分线经过轴上的定点.