题目内容

如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

（1）详见解析；（2）.

解析试题分析：（1）由，证出平面，进而证出结论；（2）方法一：根据对称可判断即为所求，由（1）可证△为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求.
试题解析：（1）在正方形中，有，              1分
则，                                              2分
又                                                        3分
∴平面                                                      4分
而平面，∴                                        5分
（2）方法一：连接交于点，连接                           6分
∵在正方形中，点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴点为的中点，
且                                                            7分
∵正方形的边长为2，∴，∴                8分
∴为二面角的平面角         9分

由（1）可得，
∴△为直角三角形       10分
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，，
又                       11分
∴          

练习册系列答案
相关题目

如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.

（1）求>的值；
（2）求证： 

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2CD＝2，E，F分别是AB，AP的中点．
 
(1)求证：AC⊥EF；
(2)求二面角F-OE-A的余弦值．

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 证明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求的值.

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A" A1，∠BA A1=60°.

（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：平面ABD；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角E-FC1-C的余弦值.

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