Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：平面ABD；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）先证 （Ⅱ） （Ⅲ）

解析试题分析：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即，
故．          
∵平面⊥平面，平面平面=，平面，
∴平面．        
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．            

则，，，．
∵E是线段AD的中点，
∴，．
在平面中，，，
设平面法向量为，
∴，即，
令，得，故．            
设直线与平面所成角为，则
．           
∴直线与平面所成角的正弦值为．              
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，
而平面的法向量为，
∴，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
点评：本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角，以及翻折问题，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键．