Question

（本题满分14分）

设函数

（1）求函数极值；

（2）当恒成立，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）f_极大=f(—1)=—4.  f_极小=f(—)=；（2）a的范围为。

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．

（Ⅰ）先求出函数的导数，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义判断出极值即可；

（2）设F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4

利用不等式恒成立构造新函数，求解函数的最值得到结论。

解：（1）∵f(x)=x³+2x²+x­—4

∴=3x²+4x+1，…………………………2分

令=0，得x₁= —1,x₂= —.

 

x	（－∞,－1）	－1	（－1,－）	－	（－,+∞）
	+	0	—	0	+
		极大		极小

∴f_极大=f(—1)=—4.  f_极小=f(—)=…………………………6分

（2）设F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4

 

解得a≤5    ∴2<a≤5………10分，当x=0时，F(x)=4

∴a的范围为…………1４分