Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，BC=1，AB=，BB₁=2，点E是棱CC₁中点．
（1）求证：EB₁⊥平面ABE；
（2）若二面角B-AE-A₁的大小为锐角α，求cosα．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证EB₁⊥平面ABE，只需证EB₁垂直平面ABE内的两条相交直线即可，利用已知的三棱柱为直三棱柱，且AB⊥AC证得AB⊥EB₁，然后通过解直角三角形证出EB₁⊥EB，最后由线面垂直的判定得答案；
（2）通过建立空间直角坐标系求出二面角B-AE-A₁的两个半平面所在平面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案．
解答：（1）证明：∵AA₁⊥底面ABC，AA₁∥BB₁
∴BB₁⊥底面ABC，∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC
∴AB⊥BB₁C₁C，∴AB⊥EB₁
又，∴EB₁⊥EB
∴EB₁⊥平面ABE              
（2）解：分别以射线BA、BC、BB₁为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系B-xyz
则B（0，0，0），A（，0，0），．
由（1）知平面ABE的法向量为．
设平面AA₁E的法向量为，又   
由，即，令得：．
∴=．
点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．