Question

18．已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x²=4y上，P在第一象限，如图．F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，|PF|=3，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 由题意可知|PF|=3，求得P点坐标，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，即可求得M点坐标，根据斜率公式求得直线AB的斜率，代入即可求得AB的方程．

解答 解：设P（x，y），由|PF|=3，得y=2，
∴x=2$\sqrt{2}$，即P（2$\sqrt{2}$，2）
设M（x₀，y₀），由 $\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，得x₀=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，y₀=$\frac{2}{3}$，即M（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$）
M为AB的中点，k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴AB的方程为：3$\sqrt{2}$x+9y-2=0．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．