Question

10．不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，$\frac{18}{7}$]
• B． （-1，2]
• C． [2，3）
• D． （-$\frac{6}{7}$，$\frac{18}{7}$]

Answer 1

分析 该题实质上是二次函数的区间根问题，已知M⊆[1，4]，首先分类讨论①M=∅，得出△＜0，解出a的范围；②M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，然后综合①②的情况求出实数a的取值范围．

解答 解：设f（x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2），
∵M⊆[1，4]有两种情况：
①M=∅，此时△＜0；
当△＜0时，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]；
②其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围
当△=0时，a=-1或2；
当a=-1时M={-1}?[1，4]；
当a=2时，m={2}⊆[1，4]．
当△＞0时，a＜-1或a＞2．
设方程f（x）=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，M⊆[1，4]
∴1≤x₁＜x₂≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{-a+3≥0}\\{18-7a≥0}\\{1≤a≤4}\\{a＜-1或a＞2}\end{array}\right.$，解得2＜a≤$\frac{18}{7}$，
综上讨论知，当M⊆[1，4]时，a的取值范围是（-1，$\frac{18}{7}$]，
故选：A．

点评 此题主要考查一元二次不等式的解法，运用了分类讨论的思想，分类讨论的问题比较多，从而加大了试题的难度．