Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为F₁（-4，0）、F₂（4，0），且经过点P（3，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点M在椭圆C上，且

OM

=

1

2

PF1

+λ

PF2

，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）（方法一）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用定义求出a，通过c，求出b，即可求出椭圆C的标准方程．
（方法二）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用c=4得到a²=b²+16，化简椭圆方程，利用点P（3，1）在椭圆C上，即可求解b，然后求出椭圆C的标准方程．
（2）利用向量关系求出点M的坐标，通过点M在椭圆C上，列出20λ²+4λ-7=0，求解即可．

解答： 解：（1）（方法一）依题意，设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）
2a=|PF₁|+|PF₂|…（2分），
=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
∴a=3

2

…（4分）
c=4…（5分），
∴b²=a²-c²=2…（6分）
椭圆C的标准方程为

x2

18

+

y2

2

=1…（7分）
（方法二）依题意，设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）
∵c=4…（2分），
∴a²=b²+c²=b²+16，

x2

b2+16

+

y2

b2

=1…（3分）
∵点P（3，1）在椭圆C上，∴

9

b2+16

+

1

b2

=1…（4分
）b⁴+6b²-16=0…（5分），解得b²=2或b²=-8（负值舍去）…（6分）
a²=b²+16=18，椭圆C的标准方程为

x2

18

+

y2

2

=1…（7分）
（2）

OM

=

1

2

PF1

+λ

PF2

=

1

2

(-7，-1)+λ(1，-1)=(

2λ-7

2

，-

2λ+1

2

)…（9分）
点M的坐标为M(

2λ-7

2

，-

2λ+1

2

)…（10分）
∵点M在椭圆C上，∴

1

18

×(

2λ-7

2

)2+

1

2

(-

2λ+1

2

)2=1…（11分）
即20λ²+4λ-7=0…（12分），解得λ=

1

2

或λ=-

7

10

…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．