Question

【题目】已知椭圆： ，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于， 两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于， 两点．

（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；

（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ， .

【解析】试题分析: （Ⅰ）求出直线的方程,与椭圆联立,解出中点的坐标,进而求出直线的斜率. （Ⅱ）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时不成立,斜率存在时联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出弦长的表达式以及中点的坐标, 直线的方程联立椭圆的方程，得点坐标，则可求出,又，将坐标代入解出,即可求出直线的方程.

试题解析:（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，

设， ，

由解得

所以中点，

于是直线的斜率为．

（Ⅱ）假设存在直线，使得成立．　

当直线的斜率不存在时， 的中点，

所以， ，矛盾；

故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，

得，

设， ，则， ，

于是，

点的坐标为，

.

直线的方程为，联立椭圆的方程，得，

设，则，

由题知， ，

即，

化简，得，故，

所以直线的方程为， .