Question

【题目】已知向量，，且函数.若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为.

（Ⅰ)求函数的解析式；

（Ⅱ)若方程在时，有两个不同实数根，，求实数的取值范围，并求出的值；

（Ⅲ)若函数在的最大值为2，求实数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简，根据周期计算，从而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出的范围，根据对称性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范围和关于的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出的值．

（Ⅰ）∵，，

∴

若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为，

则函数的周期，

∴，即，

∴

（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，

当时，

∴若方程在有两个不同实数根，则.

∴令，，则，，

∴函数在内的对称轴为，

∵，是方程，的两个不同根，

∴

（Ⅲ）因为，所以，

令，则.∴

又∵，由得，

∴.

（1）当，即时，可知在上为减函数，

则当时，

由，解得：，不合题意，舍去.

（2）当，即时，结合图象可知，当时，，

由，解得，满足题意.

（3）当，即时，知在上为增函数，

则时，，由得，舍去

综上，或为所求.