Question

【题目】已知为单调递增数列，为其前项和，

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）由得，所以,

整理得,所以是以为首项，为公差的等差数列，可得；（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得的前项和，利用放缩法可得结论.

试题解析：（Ⅰ）当时，,所以，即,

又为单调递增数列，所以.

由得，所以,

整理得,所以.

所以，即,

所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.

(Ⅱ)

所以

.

【方法点晴】本题主要考查数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.