Question

(本小题满分12分)
设A₁、A₂是双曲线的实轴两个端点，P₁P₂是双曲线的垂直于轴的弦，
（Ⅰ）直线A₁P₁与A₂P₂交点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）过与轴的交点Q作直线与（1）中轨迹交于M、N两点，连接FN、FM，其中F,求证：为定值；

Answer 1

（Ⅰ）（ ；（Ⅱ）见解析。

（Ⅰ）利用交轨法来求直线P₁A₁和P₂A₂的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A₁、A₂点的坐标，设P（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），求出直线PA₁和NA₂的方程，联立方程，方程组的解为直线PA₁和NA₂交点的坐标，再把P点坐标（x₀，y₀）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程．
（Ⅱ）设的方程为，，直线MN的方程与曲线C的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，解出M，N点横坐标之和与之积代入下式即可证明为定值．
（Ⅰ）设,则的方程为   ①
的方程为  ② 将①×②，得
又在双曲线上，，即，
代入上式 ，得（              ………5分
（Ⅱ）法一：设的方程为，
联立，得 消，得
则
..12分