已知函数f.若y=$\frac{f上为增函数.则称f(x)为“一阶比增函数 ,若y=$\frac{f上为增函数.则称f(x)为“二阶比增函数．我们把所有“一阶比增函数组成的集合记为Ω1.所有“二阶比增函数组成的集合记为Ω2．=$\frac{{{x^{\frac{5}{2}}}arctanx}}{{\sqrt{x}}}$.判断f(x)与集� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=$\frac{f（x）}{x^2}$在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω₁，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω₂．
（1）已知函数f（x）=$\frac{{{x^{\frac{5}{2}}}arctanx}}{{\sqrt{x}}}$，判断f（x）与集合Ω₁，Ω₂的关系，并证明你的判断；
（2）已知函数f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，求实数h的取值范围；
（3）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函数值由下表给出，

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

求证：d（2d+t-4）＞0．

分析（1）根据一阶比增函数，二阶比增函数的定义分别求出集合Ω₁，Ω₂，然后进行判断即可；
（2）根据f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，的关系即可求实数h的取值范围；
（3）根据不等式的性质进行证明．

解答（1）f（x）∈Ω₁，f（x）∈Ω₂．
证明：$由f（x）=\frac{{{x^{\frac{5}{2}}}arctanx}}{{\sqrt{x}}}={x^2}arctanx，（x＞0）得$$\frac{f（x）}{x}=xarctanx（x＞0）；\frac{f（x）}{x^2}=arctanx，（x＞0）$，由反正切函数的性质知：$\frac{f（x）}{x^2}=arctanx，（x＞0）为增函数，所以f（x）∈{Ω_2}$．$再证\frac{f（x）}{x}=xarctanx，（x＞0）为递增，设{x_2}＞{x_1}＞0，又因为y=arctanx，（x＞0）$为增函数，
所以arctanx₂＞arctanx₁＞0，又x₂＞x₁＞0，x₂arctanx₂＞x₁arctanx₁，
即$\frac{f（x）}{x}=xarctanx\;（x＞0）$为递增函数，所以f（x）∈Ω₁．
（2）因为f（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，
即$g（x）=\frac{f（x）}{x}={x^2}-2hx-h在（0，+∞）是增函数，所以h≤0$．
而$h（x）=\frac{f（x）}{x^2}=x-\frac{h}{x}-2h在（0，+∞）$不是增函数．
而当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0．
综上，得h＜0．
（3）因为f（x）∈Ω₁，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
所以$\frac{f（a）}{a}＜\frac{f（a+b+c）}{a+b+c}=\frac{4}{a+b+c}，所以f（a）=d＜\frac{4a}{a+b+c}$，
同理可证$f（b）=d＜\frac{4b}{a+b+c}，f（c）=t＜\frac{4c}{a+b+c}$．
三式相加得$f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜\frac{4（a+b+c）}{a+b+c}=4，所以2d+t-4＜0$．
因为$\frac{d}{a}＜\frac{d}{b}，所以d（\frac{b-a}{ab}）＜0，而0＜a＜b，所以d＜0，所以d（2d+t-4）＞0$．