Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAsinC+cos2B=1．求g（B）=$\sqrt{3}$f（B）+f（B+$\frac{π}{4}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的最高点和最低点的坐标求出A，ω的值即可得到结论．
（2）根据正弦定理和余弦定理以及三角函数的辅助角公式进行化简即可．

解答 解：（1）由题意得$A=2，\frac{T}{2}=（{x_0}+\frac{π}{2}）-{x_0}=\frac{π}{2}$，
∴T=π，
由$\frac{2π}{ω}=π$，
得$ω=2∴f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）∵2sinAsinC+cos2B=1，
∴2sinAsinC=1-cos2B=2sin²B，
∴sinAsinC=sin²B，即ac=b²，
由$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$（当且仅当a=c时取等号），
得$B∈（{0，\frac{π}{3}}]，g（B）=\sqrt{3}f（B）+f（B+\frac{π}{4}）=4sin（2B+\frac{π}{3}），2B+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，π}]$，
∴g（B）的取值范围为[0，4]．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的恒等变换，利用正弦定理和余弦定理结合基本不等式进行化简是解决本题的关键．