Question

已知函数f（x）=

t?e2x

x

的定义域为（0，+∞）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥2e在其定义域内恒成立，求实数t的取值范围；
（3）求证：

n

i=1

1

i•e2i

＜

1

e

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=

t•e2x(2x-1)

x2

，分t＞0，t=0，t＜0，三种情况，分别讨论f′（x）在函数定义域上的符号，进而可得f（x）的单调区间；
（2）结合（1）中函数的单调性，可得当t＞0时，f（x）≥2te恒成立，若f（x）≥2e在其定义域内恒成立，则2te≥2e，解得实数t的取值范围；
（3）由（2）得当x∈（0，+∞）时，

e2x

x

≥2e，即x•e^2x≥2e•x²＞0，即

1

x•e2x

≤

1

2e•x2

，进而利用放缩法和裂项相消法，可证得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

t?e2x

x

，
∴f′（x）=

2tx?e2x-t•e2x

x2

=

t•e2x(2x-1)

x2

，
若t＞0，则当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＜0，当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0，
故（0，

1

2

）为f（x）的单调递减区间，（

1

2

，+∞）为f（x）的单调递增区间，
若t=0，f′（x）=0恒成立，此时f（x）无单调区间，
若t＜0，则当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＜0，
故（0，

1

2

）为f（x）的单调递增区间，（

1

2

，+∞）为f（x）的单调递减区间，
（2）当t＜0时，f（x）≥2te恒成立，不满足题意，
当t=0时，f（x）=0恒成立，不满足题意，
当t＞0时，f（x）≥2te恒成立，
若f（x）≥2e在其定义域内恒成立，则2te≥2e，
解得t≥1；
证明：（3）由（2）得当x∈（0，+∞）时，

e2x

x

≥2e，
即x•e^2x≥2e•x²＞0，
故

1

x•e2x

≤

1

2e•x2

，
∴

n

i=1

1

i•e2i

≤

1

2e•12

+

1

2e•22

+

1

2e•32

+…+

1

2e•n2

=

1

2e

（1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

）=

1

2e

（2-

1

n

）=

1

e

-

1

2ne

＜

1

e

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，是导数与函数和不等式的综合应用，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．