Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）在直线y=x上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜2，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）将点（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）代入直线y=x，得${S}_{n}={n}^{2}+n$，从而可得a_n=n²+n-（n²-n）=2n；
（2）由（1）及裂项法、放缩法可得$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，利用并项法相加即可．

解答 （1）解：∵点（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）在直线y=x上，
∴${S}_{n}={n}^{2}+n$，
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n，
∴a_n=n²+n-（n²-n）=2n；
（2）证明：∵a_n=2n，
∴$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$＜2，
即$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜2，n∈N^*．

点评 本题考查求数列的通项，利用裂项法、放缩法、并项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．