Question

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点A关于直线的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，点是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求的最小值及此时点M的坐标；

（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),

则解得-

把点（1，3）代入，解得a = 4，

所以抛物线的方程为

（2）∵是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），

∴抛物线的准线为，

过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知,

∴=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

∴，这时点M的坐标为．

（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，

令，可得D点的坐标为

设，显然，

则-

∵，∴，即

直线BC的方程为

即-

所以直线BC经过定点.-