Question

10．已知不等式ax²-3x+6＞4的解集为 {x|x＜1或x＞b}（b＞1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

Answer 1

分析 （1）根据不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，可得x=1与x=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，利用韦达定理即可求出实数a，b的值
（2）将（1）中的a，b的值带入，对c讨论求解不等式即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴x₁=1与x₂=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，且b＞1．
由根与系数的关系，可得：$\frac{2}{a}=b，\frac{3}{a}=1+b$．
解得：a=1，b=2．
（2）由（1）可知a=1，b=2，
∴原不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，可化为x²-（2+c）x+2c＜0，
即（x-2）（x-c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为∅．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用和讨论思想，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．