题目内容

17．某公司的研发团队，可以进行A、B、C三种新产品的研发，研发成功的概率分别为P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，三个产品的研发相互独立．
（1）求该公司恰有两个产品研发成功的概率；
（2）已知A、B、C三种产品研发成功后带来的产品收益（单位：万元）分别为1000、2000、1100，为了收益最大化，公司从中选择两个产品研发，请你从数学期望的角度来考虑应该研发哪两个产品？

分析 （1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立；计算恰有两个产品研发成功的概率即可；
（2）选择A、B和A、C，B、C对应的两种产品研发的分布列与数学期望，比较得出结论．

解答 解：（1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立；
记事件恰有两个产品研发成功为D，
则P（D）=P（A）•P（B）•P（$\overline{C}$）+P（A）•P（C）•$P（\overline{B}）$+P（B）•P（C）•P（$\overline{A}$）
=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$
=$\frac{7}{15}$；
（II）选择A、B两种产品研发时为随机事件X，则X的可能取值为0，1000，2000，3000，
则P（X=0）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1000）=P（A）•P（$\overline{B}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{15}$，
P（X=2000）=P（$\overline{A}$）•P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3000）=P（A）•P（B）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{15}$，
则X的分布列为；

X0100020003000
P$\frac{1}{15}$$\frac{4}{15}$$\frac{2}{15}$$\frac{8}{15}$
X的数学期望为E（X）=0×$\frac{1}{15}$+1000×$\frac{4}{15}$+2000×$\frac{2}{15}$+3000×$\frac{8}{15}$=$\frac{5600}{3}$；
选择A、C两种产品研发时为随机事件Y，则Y的可能取值为0，1000，1100，2100，
则P（Y=0）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
P（Y=1000）=P（A）•P（$\overline{C}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{10}$，
P（X=1100）=P（$\overline{A}$）•P（C）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=2100）=P（A）•P（C）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{10}$，
则Y的分布列为；
Y0100011002100
P$\frac{1}{10}$$\frac{4}{10}$$\frac{1}{10}$$\frac{4}{10}$
Y的数学期望为E（Y）=0×$\frac{1}{10}$+1000×$\frac{4}{10}$+1100×$\frac{1}{10}$+2100×$\frac{4}{10}$=1330（万元）；
选择A、B两种产品研发时为随机事件Z，则Z的可能取值为0，2000，1100，3100，
则P（Z=0）=P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（Z=2000）=P（B）•P（$\overline{C}$）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{6}$，
P（X=1100）=P（$\overline{B}$）•P（C）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=3100）=P（B）•P（C）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{6}$，
则Z的分布列为；
Z0200011003100
P$\frac{1}{6}$$\frac{2}{6}$$\frac{1}{6}$$\frac{2}{6}$
Z的数学期望为E（Z）=0×$\frac{1}{6}$+2000×$\frac{2}{6}$+1100×$\frac{1}{6}$+3100×$\frac{2}{6}$=$\frac{5650}{3}$（万元）；
比较知E（Z）最大，即研发B、C两种产品带来的产品收益最大．

点评 本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、相互独立事件的概率、相互对立事件的概率计算公式，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
9．数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+$\frac{2}{{a}_{n}}$-1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn．
（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围；
（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1-$\frac{1}{3}$（n-1），证明：Sn＜2n+1．
10．已知不等式ax2-3x+6＞4的解集为 {x|x＜1或x＞b}（b＞1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc＜0．
5．设α1=2，α2=-3.2，则α1，α2分别是第二象限的角．
12．若α是第二象限角，则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2α}$的值等于（　　）
A．cos2$\frac{α}{2}$B．sin2$\frac{α}{2}$C．cos2αD．sin2α
2．设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不平行，向量$λ\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行，则实数λ等于（　　）
A．2B．4C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{4}$
9．设数列{an}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$
（1）求an；
（2）设${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求数列{bn}的前n项和Sn．
6．用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1（n∈N+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时，应得到（　　）
A．1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1
C．1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D．1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
7．已知数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N*）的等差数列，若61是该数列中的一项，则公差d不可能是（　　）
A．3B．5C．4D．9

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网