Question

6．某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果绘成频率分布直方图如图：（直方图中每个区间仅包含左端点）
（1）求直方图中的x值；
（2）若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．

Answer 1

分析 （ 1）用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，应该抽取银杏树的株数，由频率分布直方图可得银杏树树干周长在[30，40）、[40，50）、[60，70）分别有多少株，由此能求出直方图中的x值．
（2）记这4株树为树₁，树₂，树₃，树₄，且不妨设树₄为患虫害的树，记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A，则A是指第二次排查到的是树₄，由此利用列举法能求出恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率．

解答 解：（ 1）因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，
所以应该抽取银杏树100×$\frac{400}{1000}$=40株，（3分）
由频率分布直方图可得银杏树树干周长在[30，40）、[40，50）、[60，70）分别有4、18、6株，
所以树干周长在[50，60）有40-（4+18+6）=12株，
所以x=$\frac{3}{100}$=0.03．（6分）
（2）记这4株树为树₁，树₂，树₃，树₄，且不妨设树₄为患虫害的树，
记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A，则A是指第二次排查到的是树₄，（8分）
因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件为：
（树₁，树₂），（树₁，树₃），（树₁，树₄），（树₂，树₁），（树₂，树₃），（树₂，树₄），
（树₃，树₁），（树₃，树₂），（树₃，树₄），（树₄，树₁），（树₄，树₂），（树₄，树₃），
共计12个基本事件，（12分）
而事件A中包含的基本事件有（树₁，树₄），（树₂，树₄），（树₃，树₄），共计3个基本事件，
所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率P（A）=$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$．（14分）

点评 本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．