Question

（2012•湖北）设函数f（x）=sin²ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点(

π

4

，0)，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：f（x）=sin²ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-

π

6

）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1）
令k=1时，ω=

5

6

符合要求
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2× 5 6

=

6π

5

（2）∵f（

π

4

）=0
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0
∴λ=-

2

∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

故函数f（x）的取值范围为[-2-

2

，2-

2

]

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，属基础题