题目内容
（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（ ）
分析：由题意可得三边即 a、a-1、a-2，由余弦定理可得 cosA=
，再由3b=20acosA，可得 cosA=
，从而可得
=
，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=
=
=
，
又3b=20acosA，可得 cosA=
=
．
故有
=
，解得a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故选D．
由余弦定理可得 cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| (a-1)2+(a-2)2-a2 |
| 2(a-1)(a-2) |
| a-5 |
| 2(a-2) |
又3b=20acosA，可得 cosA=
| 3b |
| 20a |
| 3a-3 |
| 20a |
故有
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故选D．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目