Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1
（1）求f（x）的增区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上恒正，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数为正，即可求f（x）的增区间；
（2）注意到f（0）=0，分类讨论，利用f（x）在（0，+∞）上恒正，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+ax-1，
∴f′（x）=e^x+a
∴a≥0时，增区间为（-∞，+∞）；a＜0时，增区间为（ln（-a），+∞）；
（2）注意到f（0）=0，
a≥-1时，f′（x）=e^x+a＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞0恒成立；
当a＜-1时，f（x）在（0，ln（-a））上为减函数，所以f（ln（-a））＜0，
综上，a≥-1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．