Question

已知△ABC的两顶点坐标A（-1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．
（I）求曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由题意，可得曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），从而可得求曲线M的方程；
（Ⅱ）设与直线BC的方程，与椭圆方程联立，消x，利用韦达定理，结合

AC

•

AD

=0，即可求直线BC的方程．

解答： 解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，
所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），
所以a=2，c=1，
所以b=

3

，
所以曲线M：

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）为所求．---------------（4分）
（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），

设直线BC的方程为x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
与椭圆方程联立，消x得（4+3m²）y²+6my-9=0，
所以y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

-------------------------------------（8分）
因为

AC

=（my₁+2，y₁），

AD

=（my₂+2，y₂），
所以

AC

•

AD

=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=

7-9m2

3m2+4

注意到点A在以CD为直径的圆上，所以

AC

•

AD

=0，即m=±

7

3

，-----（11分）
所以直线BC的方程3x+

7

y-3=0或3x-

7

y-3=0为所求．------（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．