Question

3．已知m∈R，设p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意的实数a∈[-1，1]恒成立，q：函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R上有极值，若非p或非q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据一元二次方程以及一元二次不等式恒成立的问题进行转化先求出p的取值范围，然后求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系求出q的取值范围，结合复合命题真假关系进行求解即可．

解答 解：（1）由题设x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，得x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，
所以|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
当a∈[-1，1]时，a²+8的最大值为9，即|x₁-x₂|≤3．
由题意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|
对任意的实数a∈[-1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，
由此不等式得m²-5m-3≤-3①或m²-5m-3≥3②
不等式①的解集为0≤m≤5．
不等式②的解集为m≤-1或m≥6．
因此，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，p是正确的…（5分）
（2）对函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6，求导得f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$．
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0．
此一元二次方程的判别式
△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）=4m²-12m-16．
若△=0，则f′（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）的符号如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

因此，f′（x₀）不是函数f（x）的极值，
若△＞0，则f′（x）=0有两个不相等的实根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f′（x）的符号如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

因此，函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m²-12m-16＞0，得m＜-1或m＞4．
因此，当m＜-1或m＞4时，q是正确的．
综上，使p且q真，即非p或非q假时，…（10分）
实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）…（12分）

点评 本题主要考查不等式恒成立以及函数极值和导数的关系，考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．综合性较强，涉及的内容较多．