Question

1．已知α，β∈（0，π），f（α）=$\frac{3-2cos2α}{4sinα}$
（1）用sinα表示f（α）；
（2）若f（α）=sinβ，求α及β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简f（α），可得结果．
（2）由条件利用基本不等式求得α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$时f（α）=1；由f（α）=sinβ≤1，可得sinβ=1，从而求得β 的值

解答 解：（1）∵α，β∈（0，π），∴f（α）=$\frac{3-2cos2α}{4sinα}$=$\frac{3-2（1-{2sin}^{2}α）}{4sinα}$=$\frac{1+{4sin}^{2}α}{4sinα}$．
（2 ）∵α，β∈（0，π），∴0＜sinα、sinβ≤1，由f（a）=$\frac{1+{4sin}^{2}α}{4sinα}$=$\frac{1}{4sinα}$+sinα≥1，
当且仅当$\frac{1}{4sinα}$=sinα，即sinα=$\frac{1}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$时，等号成立．
即f（α）≥1．
而f（α）=sinβ≤1，∴sinβ=1，∴β=$\frac{π}{2}$．
综上可得，α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$；β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，基本不等式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．