题目内容
中心在原点，焦点坐标为（0，±5
）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为
，则椭圆方程为 ．
| 2 |
| 1 |
| 2 |
考点：椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设椭圆
+
=1（a＞b＞0），则a2-b2=50，再设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0），利用点差法能示出椭圆的方程．
| x2 |
| b2 |
| y2 |
| a2 |
解答：
解：设椭圆
+
=1（a＞b＞0），则a2-b2=50①
又设直线3x-y-2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=
，∴代入直线方程得y0=
-2=-
，
由
，得
=-
，
∴AB的斜率k=
=-
•
=-
•
=3
∵
=-1，∴a2=3b2②
联解①②，可得a2=75，b2=25，
∴椭圆的方程为：
+
=1
故答案为：
+
=1．
| x2 |
| b2 |
| y2 |
| a2 |
又设直线3x-y-2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由
|
| y12-y22 |
| a2 |
| x12-x22 |
| b2 |
∴AB的斜率k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| a2 |
| b2 |
| x1+x2 |
| y1+y2 |
| a2 |
| b2 |
| x0 |
| y0 |
∵
| x0 |
| y0 |
联解①②，可得a2=75，b2=25，
∴椭圆的方程为：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 75 |
故答案为：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 75 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
练习册系列答案
同步练习河南大学出版社系列答案
同步练习西南大学出版社系列答案
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