Question

15．在△ABC中，a+b=3c，则cosA•cosB•cosC的最大值为（　　）

• A． $\frac{7}{81}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{9}$
• D． $\frac{8}{81}$

Answer 1

分析 由a+b=3c，利用余弦定理与基本不等式的性质可得cosC≥$\frac{7}{9}$．于是cosA•cosB•cosC=$\frac{1}{2}[cos（A-B）+cos（A+B）]cosC$≤$\frac{1}{2}（1-cosC）cosC$=f（C），
由于cosC∈$[\frac{7}{9}，1）$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a+b=3c，∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{（a+b）^{2}}{9}}{2ab}$=$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-ab}{9ab}$≥$\frac{8ab-ab}{9ab}$=$\frac{7}{9}$．
∴cosA•cosB•cosC=$\frac{1}{2}[cos（A-B）+cos（A+B）]cosC$≤$\frac{1}{2}（1-cosC）cosC$=f（C），
∵cosC∈$[\frac{7}{9}，1）$，
f（C）=$-（cosC-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$f（\frac{7}{9}）$=$\frac{7}{81}$．
∴cosA•cosB•cosC的最大值为$\frac{7}{81}$．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、“积化和差”、诱导公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．