Question

【题目】在三棱锥DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E为AC的中点．

（I）证明：ADBC；

（II）求直线 DE 与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）见证明；（II）

【解析】

（I）先作，由面面垂直的性质定理可证线面垂直，再结合条件证得面，得到结论.

（II）法一：根据（1）作出过E且与CH平行的线段，可得到线面角，再在直角三角形中求解即可. 法二：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面ABD的法向量，则|cos|即为所求．

（I）过作，（其中与都不重合，否则，若与重合，则与矛盾，

若与重合，则，与矛盾）

面面

面

，又

面

（II）法一：作，则，

由（1）知：面

即与面所成角，且

法二：由（I）知平面，，以为原点，分别以射线为轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系

由题意知：

∴，

∵平面的法向量为，

设与面所成角为

∴