Question

16．函数f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，函数g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． [1，2]
• C． [$\frac{2}{3}$，2]
• D． [$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由题意，在区间内x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]存在，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[$-\frac{3}{2}$m+3，3-m]，依题意，x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]存在，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，
化简可得：f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∵x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{π}{3}$≤2x₁+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]
故得函数f（x）的值域为[1，2]．
函数g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），
∵x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴$-\frac{π}{6}$≤2x₂-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$
∴cos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故得函数g（x）的值域为[3-$\frac{3}{2}m$，3-m]．
由题意：x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]存在，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则需满足：3-m≥1且3-$\frac{3}{2}m$≤2，
解得实数m的取值范围是[$\frac{2}{3}$，2]．
故选C

点评 本题重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“存在x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含义，属于难题，