Question

4．记 min{p，q}=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≤q}\\{q，p＞q}\end{array}\right.$，若函数f（x）=min{3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，log₂x}．
（Ⅰ）用分段函数形式写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＜2的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对新定义的理解要到位，先求出x的范围，即可得到函数的解析式，
（Ⅱ）根据分段函数即可求出不等式的解集

解答 解：（Ⅰ）由3+log${\;}_{\frac{1}{4}}$x≤log₂x
即3-$\frac{1}{2}$log₂x≤log₂x，
即log₂x≥$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，
∴x≥$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3+lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x≥\sqrt{2}}\\{lo{g}_{2}x，0＜x＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵不等式f（x）＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+lo{g}_{\frac{1}{4}}x＜2}\\{x≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＜2}\\{0＜x＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$
解得x＞4或0＜x＜$\sqrt{2}$
故不等式f（x）＜2的解集为（0，$\sqrt{2}$）∪（4，+∞）．

点评 本题主要考查了分段函数，以及对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．