题目内容

证明题：（
C
0
n
）2+（C
 
1
n
）2+…+（C
 
n
n
）2=
2n!
n!n!
．
考点：二项式系数的性质
专题：证明题,二项式定理
分析：利用（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，两边分别用二项式定理，通过xn的系数相等得证．
解答： 证明：由（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，两边展开得：
（Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnm-1xn-1+Cnnxn）•（Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnn-1xn-1+Cnnxn）
=C2n0+C2n1x+C2n1x2+…+C2n2nx2n
比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有：
Cn0•Cnn+Cn1•Cnn-1+Cn2•Cnn-2+…+Cnn•Cn0=C2nn
由Cnr=Cnn-r，C2nn=
2n!
n!n!
．
得（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=
2n!
n!n!
．
点评：本题关键是构造出（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（2+x）=0恒成立．如果实数m，n满足不等式
n≥4
f(m2-6m+25)+f(n2-8n)≤0
，那么m2+n2+2m-2n的取值范围是（　　）
A、[11，47]
B、[11，39]
C、[7，47]
D、[7，11]
已知圆C：
x=-3+2sinθ
y=2cosθ
（θ为参数），与x轴交与A、B两点，则|AB|等于（　　）
A、6B、4C、2D、0
设A={x∈R|-1＜x＜3}，B={x∈R|x＞a}，若A?B，求a的取值范围．
设函数f（x）=2|x-1|-|x+2|．
（1）求f（x）≤6的解集．
（2）若f（x）≥m对任意x∈R恒成立，求m的范围．
已知指数函数f（x）=a x的图象经过点（3，π），求f（0）、f（1）、f（-3）的值．
（理科学生做）若函数f（x）对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，则称f（x）为D上的“收缩”函数
（1）判断函数f(x)=
1
4
x2+
1
2
x在[-1，1]上是否是“收缩”函数，并说明理由；
（2）是否存在k∈R，使得f(x)=
k
x+2
在[-1，+∞）上为“收缩”函数，若存在，求k的范围；若不存在，说明理由；
（3）若D=[0，1]，且f（0）=f（1），且f（x）为“收缩”函数，问|f(x1)-f(x2)|≤
1
2
能否成立，说明理由．
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，三边a，b，c成等差数列，求tanA+tanB的值．
不等式|3x-6|-|x-4|＜2的解集为
 
．

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