Question

已知函数 (R)．

(1)  当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为-6. （Ⅱ）a的取值范围是．

解析:

（1）当时，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                    …… 2分                   

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增.                      

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.        …… 5分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，则△≤0，                                           …… 6分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .                                                   

∵f（0），,                   

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．        …… 8分 

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

当变化时，的取值情况如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

                               …… 9分

∵,

∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

    而当时,,

故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.         …… 11分                            

综上所述，a的取值范围是．                                …… 12分