Question

已知函数R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）表达式形式上提醒我们可以尝试基本不等式求解，则需要对自变量x的绝对值符号进行讨论分析．不过要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用条件．
（2）本题需要通过f（x）求出g（x）表达式，观察表达式可知，解决本题的关键是对函数解析式中绝对值符合的处理，要去掉绝对值符号可以根据定义分类讨论．
（3）需要对变量m分以下两种情况讨论：
解答：解：（1）①x≥0时，∵，
当且仅当，即时等号成立；
②x＜0，∵，
由①②知函数f（x）的值域为．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0时，∵，
令t=a^x，则，记，，当且仅当，时等号成立，
（i），即时，结合①知与a无关；
（ii），即时，，∴h（t）在上是增函数，，
结合①知与a有关；
综上，若g（x）的最小值与a无关，则实数a的取值范围是．
（3）①时，关于x的方程f（x）=m的解集为；
②m＞3时，关于x的方程f（x）=m的解集为或．
点评：（1）去绝对值符号的两种常用方法：
①绝对值定义法：|x|=
②要去绝对值式子两端同时平方．
（2）使用均值不等式的条件：
①一正（a，b都是正数）；
②二定（若求a+b则ab是定值，若求ab则a+b是定值）；
③三等．（当且仅当a=b时不等式取“=”）．