Question

设函数（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且，求证：；
（Ⅲ）若，且，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）证明，只要证明≤1；
（Ⅲ）用数学归纳法，关键是证明当n=k+1时不等式也成立，同时使用归纳假设．
解答：（I）解：求导数可得：（x＞1）
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以f（x）_min=f（2）=-1．
（Ⅱ）证明：=-=-（）
=-[]
由（I）知当x＞1时，，
又m，t∈R⁺，且，∴m＞1
∴≥-1
∴≤1
∴．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明如下：
1°当n=1时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设n=k时不等式成立，
即若，且时，
不等式成立
现需证当n=k+1时不等式也成立，
即证：若，且时，不等式
成立．
证明如下：设，则
∴
∴
∴+xlog₂x…①
同理+（1-x）log₂（1-x）…②
由①+②得：+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]
又由（Ⅱ）令，则，其中∈x（0，1），
则有≤1
∴xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）≥-1
∴-k+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]≥-k-1
∴
∴当n=k+1时，原不等式也成立．
综上，由1°和2°可知，原不等式均成立．
点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，解题的关键是数学归纳法的第2步，有难度．