Question

设函数f(x)=

2x

x2+1

，g(x)=x3-3ax+

7

8

，若对于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，总存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．则正整数a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：此题考查的是函数的值域的问题．在解答时可以先利用f（x）的条件转化出在[-

1

2

，

1

2

]上的值域，然后结合函数g（x）的性质找出函数g（x）在[-

1

2

，

1

2

]对应的范围，从而获的a的关系式，找出a的最小值．

解答：解：由题意可知：f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，令导数大于0，可解得-1＜x＜1，所以函数f(x)=

2x

x2+1

在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数
∴f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，
又∵g(x)=x3-3ax+

7

8

，
∴g′（x）=3x²-3a，当a是正整数时，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函数在[-

1

2

，

1

2

]是减函数，
所以g(x)=x3-3ax+

7

8

∈[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]
又对于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，总存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴[-

4

5

，

4

5

]⊆[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]即

3

4

+

3

2

a≥

4

5

且-

4

5

≥1-

3

2

a同时成立，解得a≥

6

5

所以正整数a的最小值为2．
故答案为：2．

点评：此题考查的是函数的值域的问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、恒成立的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．