Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

nan

(2n+1)•2n

，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．
（3）令c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

，记数列{c_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），证明：

5

16

≤S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{a_n}是公比为2的等比数列．由此能求出an=2n，n∈N^*．
（2）bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比数列，则

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比数列．
（3）cn=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，由此利用裂项求和法能证明

5

16

≤Sn＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4，得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n，n∈N^*．
（2）解：bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比数列，则（

m

2m+1

）²=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比数列．
（3）证明：cn=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

•

n2+2n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

2

[

n2+n

n(n+1)•2n+1

+

n+2

n(n+1)•2n+1

]

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，
∴Sn=

1

2

(

1

22

+…+

1

2n+1

)+

1

2

[(

1

1•2

-

1

2•22

)+(

1

2•22

-

1

3•23

)+…+(

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]
=

1

2

•

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)•2n+1

]
=

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]，
∵（

1

2

）ⁿ⁺¹•

n+2

n+1

递减，
∴0＜（

1

2

）ⁿ⁺¹•

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1•

1+2

1+1

=

3

8

∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]＜

1

2

，∴

5

16

≤Sn＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．