Question

10．已知数列{a_n}的各项均为正数，满足a₁=1，a_k+1-a_k=a_i．（i≤k，k=1，2，3，…，n-1）
（Ⅰ）求证：${a_{k+1}}-{a_k}≥1\begin{array}{l}{\;}{（k=1，2，3，…，n-1）}\end{array}$；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{2}n（n+1）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

Answer 1

分析 （I）利用数列的单调性即可证明；
（II）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（III）利用“累加求和”与不等式的性质即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_k+1-a_k=a_i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴数列{a_n}是递增数列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
又∵a_k+1-a_k=a_i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴a_k+1-a_k≥1（k=1，2，3，…，n-1）．
（Ⅱ）解：∵a₂-a₁=a₁，∴a₂=2a₁；
∵{a_n}是等比数列，∴数列{a_n}的公比为2．
∵a_k+1-a_k=a_i（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），∴当i=k时有a_k+1=2a_k．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅲ）证明：∵1=a₁=1，2=a₂=2，$3≤{a_3}≤{2^2}$，$4≤{a_4}≤{2^3}$，…，$n≤{a_n}≤{2^{n-1}}$，
由上面n个式子相加，得到：$1+2+3+…+n≤{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}≤{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}$，
化简得 $\frac{n（n+1）}{2}＜（{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}）＜（{2^n}-1）$，
∴$\frac{1}{2}n（n+1）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“累加求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．