Question

【题目】已知函数（，是自然对数的底数）.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求得的导函数，对分成和两种情况，分类讨论的单调区间.

（2）首先判断.解法一：构造函数，求得的导函数，对分成，两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.解法二：当时，根据的单调性证得.当时，同解法一，证得此时不满足.

（1），

当时，，在上单调递减；

当时，由得，所以在上单调递减；

由得，所以在上单调递增.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）解法一：

当时，，即，

所以，

令，

则

若，则当时，，所以在上单调递增；

当时，

，

所以当时，单调递增，所以.

若，则，

，

由得，

所以，

所以，使得，且当时，，

所以在上单调递减，

所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围为.

解法二：

当时，，即，

所以，

若，由（1）知：在上单调递增，

因为，所以，所以在上单调递增，

所以当时，.

若，

令，

则

所以，

，

由得，

所以，

所以，使得，且当时，，

所以在上单调递减，

所以当时，，不合题意.

综上，的取值范围为.