Question

【题目】在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①；②；③；④；⑤λ=3

（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；

（2）若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°

【解析】

（1）由底面，得即为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，根据得到，再根据的取值范围得到的取值；

（3）利用向量法能求出夹角的余弦值，进而求得二面角的大小．

（1）因为SB⊥底面ABCD，所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，

在中，

（2）以B为坐标原点，以BC、BA、BS的方向分别为x轴、y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(λ，2，0)，S(0，0，2).

设，所以，

因为x∈[0，2]， ，所以在所给的数据中，λ可以取①②③

（3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点E有两个，

根据题意得，其坐标为和，

因为SB⊥平面ABCD，所以SB⊥BE1， SB⊥BE2，

所以，∠E1BE2是二面角E1SBE2的平面角

由

由题意得二面角E1SBE2为锐角，

所以二面角E1SBE2的大小为30°