Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2015}（x-1），x＞2}\\{sin\frac{πx}{2}，0≤x≤2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，若f（x）=k有四个互不相等的实数根，则函数f（x）的零点为0和2；k的取值范围为0＜k＜1．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行判断，由f（x）=0，分别进行求解即可得函数的零点．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）=k有四个互不相等的实数根，
则0＜k＜1，
当x＞2时，由log₂₀₁₅（x-1）=0，得x-1=1，得x=2，此时x不成立，
当0≤x≤2时，由sin$\frac{πx}{2}$=0，得$\frac{πx}{2}$=0或$\frac{πx}{2}$=π，得x=2或x=0，
当x＜0时，由（$\frac{1}{2}$）^x-1=0，得（$\frac{1}{2}$）^x=1，得x=0，此时x不成立，
综上x=2或x=0，
即函数f（x）的零点为0和2，
故答案为：0和2，0＜k＜1；

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用方程法以及数形结合是解决本题的关键．比较基础．