Question

9．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE是平行四边形，得出AE∥MN，故而MN∥平面PAD；
（2）根据面面平行的性质可得MQ∥PA，于是Q为PB的中点．

解答 证明：（1）取PD的中点E，连接AE，NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB的中点，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$NE，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴AE∥MN，又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）假若平面MNQ∥平面PAD，
又平面PAB∩平面PAD=AD，平面MNQ∩平面PAB=MQ，
∴PA∥MQ，
∵M是AB的中点，
∴Q是PB的中点．
∴当Q是PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面平行的性质，属于中档题．