题目内容
9．在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料下表：| 井号 I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 坐标（x，y）（km） | （2，30） | （4，40） | （5，60） | （6，50） | （8，70） | （1，y） |
| 钻探深度（km） | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
| 出油量（L） | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
（2）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\hat b，\hat a$的值（$\hat b，\hat a$精确到0.01）相比于（1）中b，a的值之差（即：$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$）不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x，\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2}=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}$）
（3）设出油量与钻探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号2～6的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．
分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程，
计算x=1时y的值即可；
（2）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，计算$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$，即可得出结论；
（3）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值．
解答 解：（1）因为$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（30+40+60+50+70）=50，
回归直线必过样本中心点$（{\overline x，\overline y}）$，
则$a=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$，
故回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，即y的预报值为24；
（2）因为$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+5+8+1）=4
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（30+60+70+25）=46.25
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{2i-1}}^{2}$=94$\sum_{i=1}^{4}$x2i-1•y2i-1=945，
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}-4\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{945-4×4×46.25}{{94-4×{4^2}}}≈6.83$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=46.25-6.83×4=18.93$，
即$\hat b=6.83，\hat a=18.93，b=6.5，a=17.5$，
∴$\frac{\hat b-b}{b}≈5%，\frac{\hat a-a}{a}≈8%$，均不超过10%，
因此可以使用位置最接近的已有旧井6（1，24）；
（3）由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，
由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：
（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），
（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共有10种，
其中恰有2口是优质井的有
（2，3，5），（2，3，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），6种，
所以所求恰有2口是优质井的概率是$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
点评 本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是综合题．
（1）pΛq
（2）p∨q
（3）￢pΛ￢q
（4）￢p∨￢q．
如图，△ABC在$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，M，N分是$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$上的点，且$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{BM}$ 交于P，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ 表示向量$\overrightarrow{CP}$，并求出AP：PN，BP：PM．
某出版社检验某册书的成本费（单位：元）与印刷数（单位：千册）之间的关系，经统计得到数据（表一）并对其作初步的处理，得到如图所示的散点图及一些统一量的值（表二）．表一
| x | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 11 | 20 | 25 | 30 |
| y | 9.02 | 5.27 | 4.06 | 3.03 | 2.59 | 2.28 | 2.21 | 1.89 | 1.80 | 1.75 |
| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{10}$（xi$-\overline{x}$）2 | $\sum_{i=1}^{10}$（wi$-\overline{w}$）2 | $\sum_{i=1}^{10}$（xi$-\overline{x}$）（yi$-\overline{y}$） | $\sum_{i=1}^{10}$（wi$-\overline{w}$）（yi$-\overline{y}$） |
| 11.4 | 3.39 | 0.249 | 934.4 | 934.4 | -139.03 | 6.196 |
（1）根据散点图可知更适宜作成本费与印刷册数的回归方程类型，试依据表中数据求出关于的回归方程（结果精确到0.01）；
（2）从已有十组数据的前五组数据中任意抽取两组数据，求抽取的两组数据中有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值超过0.02的概率．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（un，vn），其回归直线v=$\widehat{α}$+$\widehat{β}$u的斜估计分别为
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$$-\widehat{β}$$\overline{u}$．
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{7}{8}$ |