Question

5．设函数f（x）=（sinx+cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，以及取得最大值时对应x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据T=$\frac{2π}{ω}$求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）可求x∈[0，$\frac{π}{2}$]时sin（2x-$\frac{π}{3}$）的取值范围，求出x=$\frac{5π}{12}$时f（x）取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（sinx+cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x
=sin²x+2sinxcosx+cos²x-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
∴当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=2sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）+1=3取得最大值．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．