Question

已知函数f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1），x∈[1，9]的图象经过点（3，2），且它的反函数图象经过点（3，9）．
（1）求a，b的值；
（2）设g（x）=f²（x）+f（x²），求值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）的图象与反函数图象关于y=x对称，函数f（x）的图象进过点（9，3），代入得到关于a，b的方程组，解得即可．
（2）先求出g（x）的解析式，再根据自变量的范围，求得值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象与反函数图象关于y=x对称，它的反函数图象经过点（3，9）．
∴函数f（x）的图象进过点（9，3），
∵函数f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1），x∈[1，9]的图象经过点（3，2），
∴

loga3+b=2 loga9+b=3

解得

a=3 b=1

，
（2）由（1）知f（x）=log₃x+1，
∵g（x）=f²（x）+f（x²），
∴g（x）=（log₃x+1）²+log₃x²+1=log₃²x+4log₃x+2=（log₃x+2）²-2，
∵函数g（x）要有意义，
∴

1≤x≤9 1≤x2≤9

，
解得1≤x≤3，
∴g（1）=2，g（3）=7，
∴值域为[2，7]．

点评：本题主要考查函数与反函数的关系，对数函数的图象和性质综合应用，属于中档题．