Question

已知函数为奇函数.

（1）求常数的值；

（2）判断函数的单调性，并说明理由；

（3）函数的图象由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值。

Answer 1

解： (1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由，得

，所以。                       

这时满足，函数为奇函数，因此

（2）函数为单调递减函数.

法一:用单调性定义证明；

法二：利用已有函数的单调性加以说明。

在上单调递增，因此单调递增，又在及上单调递减，因此函数在及上单调递减；

法三：函数定义域为，说明函数在上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在上也是单调递减，因此函数在及上单调递减。

（本题根据具体情况对照给分）

（3）因为函数为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数的一个对称中心为，                             

因此有，因为，因此