Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数g（x）=log₂（a•2^x-

4

3

a），其中a＞0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a•2^x-

4

3

a），在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，利用换元法，分类讨论，得到答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴g（x）=log₂（a•2^x-

4

3

a），定义域为（log₂

4

3

，+∞），
也就是满足2^x＞

4

3

，
∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a•2^x-

4

3

a），在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解
即：方程

4x+1

2x

=a•2^x-

4

3

a，在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解
令2^x=t则t＞

4

3

，因而等价于关于t的方程（a-1）t²-

4

3

at-1=0（*）在（

4

3

，+∞）上只有一解
①当a=1时，解得t=-

3

4

∉（

4

3

，+∞），不合题意；
②当0＜a＜1时，记h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＜0，
∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）无解
③当a＞1时，记h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＞0，
所以，只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．