Question

10．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：
（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；
（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有4³种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．
（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．

解答 解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，
每一个有四种选择，共有4³种结果．
满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有$C_3^1•{3^2}$，
根据等可能事件的概率$p=\frac{{c_3^1{3^2}}}{4^3}=\frac{27}{64}$．
（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，$p（{ξ=0}）=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=1}）=\frac{{c_3^1•{3^2}}}{4^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=2}）=\frac{c_3^2•3}{4^3}=\frac{9}{64}$，$p（{ξ=3}）=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$，
∴X的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴ξ的数学期望：${E_ξ}=0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$．
法2：每个片区被申请的概率均为$\frac{1}{4}$，没被选中的概率均为$\frac{3}{4}$，ξ的所有可能结果为0，1，2，3，
且ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），$p（{ξ=0}）={（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=1}）=C_3^1•\frac{1}{4}•{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{64}$，$p（{ξ=2}）=C_3^2•{（{\frac{1}{4}}）^2}•\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$，$p（{ξ=3}）={（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{1}{64}$，
∴X的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴X的数学期望：$Eξ=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．（Eξ=1×$\frac{27}{64}$$+2×\frac{9}{64}$$+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查概率的求法，二项分布的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．