Question

已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设出圆心的坐标为（a，-2a），利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x+y=1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
（Ⅱ）分类讨论，利用被圆C截得的弦长为2，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设所求圆心坐标为（a，-2a）
由条件得

(a-2)2+(-2a+1)2

=

|a-2a-1|

2

，化简得a²-2a+1=0，
∴a=1，
∴圆心为（1，-2），半径r=

2

∴所求圆方程为（x-1）²+（y+2）²=2
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，
由题得

|k+2|

1+k2

=1，解得k=-

3

4

，∴直线l的方程为y=-

3

4

x．
综上所述：直线l的方程为x=0或y=-

3

4

x．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．